初中數學競賽試卷？(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2，n = 3 3．我省規定：每年11月的最后一個星期日舉行初中數學競賽，那么，初中數學競賽試卷？一起來了解一下吧。
中國教育學會中學數學教學專業委員會
“《數學周報》杯”2009年全國初中數學競賽試題參考答案
一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）
1．已知非零實數a，b 滿足，則 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由題設知a≥3，所以，題設的等式為 ，于是 ，從而 ＝1．
2．如正扮圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解：因為△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先
后投擲兩次，記第一次擲出的點數為 ，第二次擲出的點數為 ，則使關于x，y的方程組 只有正數解的概率為（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：當 時，方程組無解．
當 時，方程組的解為
由已知，得 即 或
由 ， 的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10種情況；或 共3種情況．
又擲兩次骰子出現的基本事件共6×6＝36種情況，故所求的概率為 ．
4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .動點P從點
B出發，沿梯形的邊由B→C→D→A運動. 設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數，函數的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根據圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．關于x，y的方程 的整數解（x，y）的組數為（）．
（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組
【答】C．
解：可將原方程視為關于 的二次方程，將其變形為
．
由于該方程有整數根，則判別式 ≥ ，且是完全平方數．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
顯然，只有 時， 是完全平方數，符合要求．
當 時，原方程為 ，此時 ；
當y＝－4時，原方程為 ，此時 ．
所以，原方程的整數解為
二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）
6．一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km ．
【答】3750．
解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km
磨損量碰掘為 ,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為 .又設一對新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程,有
兩式相加，得 ，
則 ．
7．已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于舉吵灶點H，則 的值為．
解：如圖，延長AD與⊙D交于點E，連接AF，EF ．
由題設知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是滿足條件 的五個不同的整數，若 是關于x的方程 的整數根，則 的值為 ．
【答】 10．
解：因為 ，且 是五個不同的整數，所有 也是五個不同的整數．
又因為 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為 的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于．
【答】 ．
解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足為F．設EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10個人圍成一個圓圈做游戲．游戲的規則是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來．若報出來的數如圖所示，則報3的人心里想的數是．
【答】 ．
解：設報3的人心里想的數是 ，則報5的人心里想的數應是 ．
于是報7的人心里想的數是，報9的人心里想的數是，報1的人心里想的數是，報3的人心里想的數是 ．所以
，
解得 ．
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11．已知拋物線 與動直線 有公共點 ， ，
且 .
（1）求實數t的取值范圍；
（2）當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）聯立 與 ，消去y得二次方程
①
有實數根 ， ，則 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值應滿足
≥0， ④
且使方程③有實數根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范圍為
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 時是遞增的，所以，當
時, . ………………20分
12．已知正整數 滿足 ，且 ，求滿足條件的所有可能的正整數 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因為 是奇數，所以 等價于 ，又因為 ，所以 等價于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，滿足條件的所有可能的正整數 的和為
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如圖，給定銳角三角形ABC， ，AD，BE是它的兩條高，過點 作△ABC的外接圓的切線 ，過點D，E分別作 的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結論．
解法1：結論是 ．下面給出證明． ………………5分
因為 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因為 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：結論是 ．下面給出證明．
……………… 5分
連接DE，因為 ，所以A，B，D，E四點共圓，故
．………………10分
又l是⊙O的過點C的切線，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n個正整數 滿足如下條件： ；
且 中任意n－1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．
解：設 中去掉 后剩下的n－1個數的算術平均數為正整數 ， ．即．
于是，對于任意的1≤ ≤n，都有
，
從而 ．………………5分
由于是正整數，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
結合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，則這9個數滿足題設要求．
綜上所述，n的最大值為9. ………………20分
抱歉，圖弄不上來，你可以去參考網址自己下
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“《數學周報》杯”2009年全國初中數學競賽試題參考答案
一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）
1．已知非零實數a，b 滿足，則 等于（）．
（A）－1（B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由題設知a≥3，所以，題設的等式為 ，于是 ，從而 ＝1．
2．如圖，菱形ABCD的邊長為a，點O是對角線AC上的一點，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，則a等于（）．
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解返塵：因為△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以，．
由 ，解得 ．
3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先
后投擲兩次，記第一次擲出的點數為 ，第二次擲出的點數為 ，則使關于x，y的方程組 只有正數解的概率為（ ）．
（A） （B）（C）（D）
【答】D．
解：當 時，方程組無解．
當 時，方程組的解為
由已知，得 即 或
由 ， 的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10種情況；或 共3種情況．
又擲兩次骰子出現的基本事件共6×6＝36種情況，故所求的概率為 ．
4．如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， .動點P從點
B出發，沿梯形的邊由B→C→D→A運動. 設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y. 把y看作x的函數，函數的圖像如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）．
（A）10（B）16（C）18 （D）32
【答】B．
解：根據圖像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，進而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．關于x，y的方程 的整數解（x，y）的組數為（）．
（A）2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組
【答纖祥】C．
解：可將原方程視為關于 的二次方程，將其變形為
．
由于該方程有整數根，則判別式 ≥ ，且是完全平方數．
由≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
顯然，只有 時， 是完全平方數，符合要求．
當 時，原方程為 ，此時 ；
當y＝－4時，原方程為 ，此時 ．
所以，原方程的整數解為
二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）
6．一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km ．
【答】3750．
解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km
磨損量為 ,安裝在后輪的輪毀世搏胎每行駛1km的磨損量為 .又設一對新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程,有
兩式相加，得 ，
則 ．
7．已知線段AB的中點為C，以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD＝AC；再以點D為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點，連接FG交AB于點H，則 的值為．
解：如圖，延長AD與⊙D交于點E，連接AF，EF ．
由題設知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以.
8．已知 是滿足條件 的五個不同的整數，若 是關于x的方程 的整數根，則 的值為 ．
【答】 10．
解：因為 ，且 是五個不同的整數，所有 也是五個不同的整數．
又因為 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如圖，在△ABC中，CD是高，CE為 的平分線．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，則CE的長等于．
【答】 ．
解：如圖，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB為直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足為F．設EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10個人圍成一個圓圈做游戲．游戲的規則是：每個人心里都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來．若報出來的數如圖所示，則報3的人心里想的數是．
【答】 ．
解：設報3的人心里想的數是 ，則報5的人心里想的數應是 ．
于是報7的人心里想的數是，報9的人心里想的數是，報1的人心里想的數是，報3的人心里想的數是 ．所以
，
解得 ．
三、解答題（共4題，每題20分，共80分）
11．已知拋物線 與動直線 有公共點 ， ，
且 .
（1）求實數t的取值范圍；
（2）當t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）聯立 與 ，消去y得二次方程
①
有實數根 ， ，則 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值應滿足
≥0， ④
且使方程③有實數根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得≤ ≤ .
所以，t的取值范圍為
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 時是遞增的，所以，當
時, . ………………20分
12．已知正整數 滿足 ，且 ，求滿足條件的所有可能的正整數 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因為 是奇數，所以 等價于 ，又因為 ，所以 等價于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，滿足條件的所有可能的正整數 的和為
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如圖，給定銳角三角形ABC， ，AD，BE是它的兩條高，過點 作△ABC的外接圓的切線 ，過點D，E分別作 的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結論．
解法1：結論是 ．下面給出證明． ………………5分
因為 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得．
………………10分
又因為 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：結論是 ．下面給出證明．
……………… 5分
連接DE，因為 ，所以A，B，D，E四點共圓，故
．………………10分
又l是⊙O的過點C的切線，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n個正整數 滿足如下條件： ；
且 中任意n－1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．
解：設 中去掉 后剩下的n－1個數的算術平均數為正整數 ， ．即．
于是，對于任意的1≤ ≤n，都有
，
從而 ．………………5分
由于是正整數，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
結合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，則這9個數滿足題設要求．
綜上所述，n的最大值為9. ………………20分
2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 設 ，則 （A）
A.24.B. 25. C..D..
2．慧陪空在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（C）
A. .B.. C..D..
3．用 表示不大于 的最大整數，則方程 的解的個數為（C）
A.1.B. 2. C. 3.D. 4.
4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （B）
A. .B.. C..D..
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內亂橋作半圓，自點A作半圓的切線AE，則 CBE＝ （D）
A. .B.. C..D..
6．設 是大于1909的正整數，使得 為完全平方數的 的個數是 （B）
A.3.B. 4. C. 5.D. 6.
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知 是實數，若 是關于 的一元二次方程 的兩個非負實根，則 的最小值是_____ _______.
2． 設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為 和 ，則四邊形DECF的前瞎面積為___ ___.
3．如果實數 滿足條件 ， ，則 __ ____.
4．已知 是正整數，且滿足 是整數，則這樣的有序數對 共有___7__對.
第二試 （A）
一．（本題滿分20分）已知二次函數 的圖象與 軸的交點分別為A、B，與 軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.
（1）證明：⊙P與 軸的另一個交點為定點.
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且 ，求 和 的值.
解（1）易求得點 的坐標為 ，設 ， ，則 ， .
設⊙P與 軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則 .
因為 ，所以點 在 軸的負半軸上，從而點D在 軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).
（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點 的坐標為 ，
即 .
又 ，所以
，解得 .
二．（本題滿分25分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高， 、 分別是△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求.
解作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
.
因為 E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以 ＝ .
連接D 、D ，則D 、D 分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， .
同理，可求得 ， . 所以＝ .
三．（本題滿分25分）已知 為正數，滿足如下兩個條件：
①
②
證明：以 為三邊長可構成一個直角三角形.
證法1將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形.
證法2結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
結合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形.
第二試 （B）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.
二． （本題滿分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF‖AB.
解因為BN是∠ABC的平分線，所以 .
又因為CH⊥AB，所以
，
因此 .
又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四點共圓.
又 ，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.
同理可證，點E在CH的中垂線上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.
第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.
二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）已知 為正數，滿足如下兩個條件：
①
②
是否存在以 為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.
解法1將①②兩式相乘，得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.
解法2結合①式，由②式可得 ，
變形，得 ③
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，即 .
，
所以 或 或 .
結合①式可得 或 或 .
因此，以 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.
2003年太原市初中數學競賽題
一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的. 請將正確結論的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填，得零分）
1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，則 的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2．在本埠投寄平信，每封信質量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.80元（信的質量在100g以內）.如果所寄一封信的質量為72.5g，那么應付郵費 ( )
(A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元
3．如下圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
4．四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實數），用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如上圖），則x可取值的個數為（ ）
(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D) 6個
5．某校初三兩個畢業班的學生和教師共100人一起在臺階上拍畢業照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣（排數≥3），且要求各行的人數必須是連續的自然數，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的激歷空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( )
(A)1種 (B)2種 (C)4種 (D) 0種
二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知 ，那么 .
7．若實數x，y，z滿足 ， ， ，則xyz的值為 .
8．觀察下列圖形：
① ② ③ ④
根據圖①、②、③的規律，圖④中三角形的個數為 .
9．如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45o，∠A=60o，
CD=4m，BC= m，則電線桿AB的長為_______m.
10．已知二次函數 （其中a是正整數）的圖象經 過點A（－1，4）與點B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為 .
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P. 問EP與PD是否相等？證明你的結論.
解：
12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用為1.2元. 試指出此人從A城出發到B城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費用最少為多少元？
解橘斗：
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當點D在斜邊AB內部時，求證： .
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式明伍搜是否存在？請說明理由.
14B．已知實數a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求 的最小值.
注：13B和14B相對于下面的13A和14A是較容易的題. 13B和14B與前面的12個題組成考試卷.后面兩頁 13A和14A兩題可留作考試后的研究題.
13A．如圖所示，⊙O的直徑的長是關于x的二次方程 （k是整數）的最大整數根. P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與⊙O的交點.若PA，PB，PC的長都是正整數，且PB的長不是合數，求 的值.
解：
14A．沿著圓周放著一些數，如果有依次相連的4個數a，b，c，d滿足不等式 >0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.
（1）若圓周上依次放著數1，2，3，4，5，6，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數1，2，…，2003，問：是否能經過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數a，b，c，d，都有 ≤0？請說明理由.
解：（1）
（2）
2003年“TRULY?信利杯”全國初中數學競賽試題參考答案與評分標準
一、選擇題（每小題6分，滿分30分）
1．D
由 解得 代入即得.
2．D
因為20×3<72.5<20×4，所以根據題意，可知需付郵費0.8×4=3.2（元）.
3．C
如圖所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，
而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4．D
顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x.
（1）若AB=9，當CD=x時， ， ；
當CD=5時， ， ；
當CD=1時， ， .
（2）若AB=x，當CD=9時， ， ；
當CD=5時， ， ；
當CD=1時， ， .
故x可取值的個數為6個.
5．B
設最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數分別為k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由題意可知 ，即 .
因為k，n都是正整數，且n≥3，所以n<2k+（n－1），且n與2k+（n－1）的奇偶性不同. 將200分解質因數，可知n=5或n=8. 當n=5時，k=18；當n=8時，k=9. 共有兩種不同方案.
6． .
＝ .
7．1.
因為 ，
所以 ，解得 .
從而 ， .
于是 .
8．161.
根據圖中①、②、③的規律，可知圖④中三角形的個數為
1+4+3×4+ + =1+4+12+36+108=161（個）.
9． .
如圖，延長AD交地面于E，過D作DF⊥CE于F.
因為∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，
所以CF=DF= m， EF=DFtan60°= （m）.
因為 ，所以 （m）.
10.－4.
由于二次函數的圖象過點A（－1，4），點B（2，1），所以
解得
因為二次函數圖象與x軸有兩個不同的交點，所以 ，
，即 ，由于a是正整數，故 ，
所以 ≥2. 又因為b+c=－3a+2≤－4，且當a=2，b=－3，c=－1時，滿足題意，故b+c的最大值為－4.
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P. 問EP與PD是否相等？證明你的結論.
解：DP=PE. 證明如下：
因為AB是⊙O的直徑，BC是切線，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得 ① ……（6分）
又AD‖OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.
故 ② ……（12分）
由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
12．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經過的城市以及
通過兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛
的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費用
為1.2元. 試指出此人從A城出發到B城的最短路線（要有推理過
程），并求出所需費用最少為多少元？
解：從A城出發到達B城的路線分成如下兩類：
（1）從A城出發到達B城，經過O城. 因為從A城到O
城所需最短時間為26小時，從O城到B城所需最短時間
為22小時. 所以，此類路線所需 最短時間為26+22=48（小時）. ……（5分）
（2）從A城出發到達B城，不經過O城. 這時從A城到達B城，必定經過C，D，E城或F，G，H城，所需時間至少為49小時. ……（10分）
綜上，從A城到達B城所需的最短時間為48 小時，所走的路線為：
A→F→O→E→B. ……（12分）
所需的費用最少為：
80×48×1.2=4608（元）…（14分）
答：此人從A城到B城最短路線是A→F→O→E→B，所需的費用最少為4608元…（15分）
13B．如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°.
（1）當點D在斜邊AB內部時，求證： .
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
（3）當點D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.
解：（1）作DE⊥BC，垂足為E. 由勾股定理得
所以 .
因為DE‖AC，所以 .
故 . ……（10分）
（2）當點D與點A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。
2010年初中數學競賽初賽試題(北師大版七年級)
考試時間:120分鐘 試卷滿分：100分
一、選擇題(下列各題的備選答案中，只有一個是正確的，請將正確答案的序號填入題后的括號內，每小題3分，共24分)
1. 的負倒數是( )
A.|- | B.- C.2D.-2
2.在平面內，四條直線的交點個數不能是( )
A.2個 B.3個C.4個 D.5個
3.計算(a2)3的結果是( )
A.a5 B.a6C.a8D.3a2
4.如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，點D在BC的延長線上，則∠ACD等于( )
A.100°B.120° C.130°D.150°
5.一組按規律排列的數為1，3，5，7，9，…，則第100個數是( )
A.51 B.199C.201 D.55
6.在某次國際乒乓球單打比賽中，甲、乙兩名中國選手都進入最后決賽，那么下列事件為必然事件的棚寬掘是( )
A.冠軍屬于中國選手B.冠軍屬于外國選手
C.冠軍屬于中國選手甲 D.冠軍屬于中國選手乙
7.如圖，立體圖形是由若干個相同的小正方體組成，這個立體圖形有小正方體( )
A.9個 B.10個 C.11個D.12個
8.如果△+△=※，○=□+□，△=○+○+○+○，巧塵則※÷□=( )
A.2B.4 C.8D.16
二、填空題(每小題3分，共24分)
9.在數軸上與表示2.5的點的距離最近的整數點所表示的數是____.
10.當-3a2n和a4是同類項時，n=____.
11.手電筒向天空射出的光線可以看做是____.
12.保護水資源，人人有責任，我國是缺水的國家，目前可利用的淡水資源的總量僅僅899000億米3，用科學記數法表示這個數是____.
13.已知線段AB=7cm，在直線AB上畫線段BC=1cm，那么線段AC=____.
14.當x=2時，代數式ax3+bx+1的值為6，則當x=-2時，代數式ax3+bx+1的值是____.
15.已知∠4與∠1互補，∠1與∠2互余，∠2與∠3互補，∠3=153°，則∠4=____.
16.如果abc≠0，設 ，那么x可能取得的值是____.
三、解答題(12分)
17.結合具體實例進行歸納，然后判斷下列的鏈核對錯，認為正確，說明理由；認為不正確，舉出反例.
(1)任何數都不能等于它的相反數；
(2)若a比b大，那么a的相反數一定小于b的相反數.
四、解答題(15分)
18.已知關于x的方程kx=4-x的解為正整數，求k所能取的整數值.
五、解答題(15分)
19.一輛汽車從甲地駛往乙地，若以每小時60km的速度行駛，則剛好按預計時間到達，但當車行駛了4小時30分鐘后，遇雨路滑，車不能快開，這樣將速度減少20km，結果比預計時間晚45分鐘到達乙地，求甲、乙兩地的距離(要求：設不同的未知數，用三種方法加以解答).
六、解答題(10分)
20.一個長方形，恰好分成如圖所示的六個小正方形A、B、C、D、E、F，其中最小的正方形A的面積為1cm2，你能求出這個長方形的面積嗎？
以上就是初中數學競賽試卷的全部內容，2003年太原市初中數學競賽題 一、選擇題(共5小題,每小題6分,滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號的四個結論,其中有且只有一個結論是正確的. 請將正確結論的代號填入題后的括號里. 不填、。
