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數學必修一，數學人教必修一

數學
2023-05-25

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高中新教材必修一數學

一本書的名字。

《高中數學必修1》（即《普通高中課程標準實驗教科書·數學必修1·A版》的簡稱）是2007年人民教育出版社出版的圖書，作者是人民教育出版社課程教材研究所、中學數學課程教材研究開發中心。該書是高中數學學習階段順序必修的第一本教學輔助資料。

主要內容

（1）集合的含義與表示

①通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。

②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法搏前或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。

（2）集合間的基本關系

①理解集合之間包含與相皮粗等的含義，能識別給定集基握清合的子集。

②在具體情境中，了解與空集的含義。

（3）集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

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高一數學必修一所改行碧有公式歸納如下：帶物

【兩角和公式】。

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA。

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)。

【倍角公式】。

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga。

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a。核舉

【半角公式】。

sin(A/2)=√（(1-cosA)/2) sin(A/2)=-√（(1-cosA)/2)。

cos(A/2)=√（(1+cosA)/2) cos(A/2)=-√（(1+cosA)/2)。

tan(A/2)=√（(1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√（(1-cosA)/((1+cosA))。

ctg(A/2)=√（(1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√（(1+cosA)/((1-cosA))。

【降冪公式】。

(sin^2)x=1-cos2x/2。

(cos^2)x=i=cos2x/2。

【萬能公式】。

令tan(a/2)=t。

sina=2t/(1+t^2)。

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)。

tana=2t/(1-t^2)。

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高中課本并不是像初中一樣分上下冊，數學分必修和選修，必修帆純從一到五，選修有的會上有的橘培不會，必修一是你進態伍咐高中學的第一本數學書

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數學是比較容易得分的科目之一，那么高一數學必修一知識點有哪些呢。以下是由我為大家整理的“高一數學必修一知識點總結”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性; 2.元喚信素的互異性; 3.元素的無序性

說明：

(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅神銀算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排和瞎輪列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意啊：常用數集及其記法：非負整數集(即自然數集)記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R 關于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，

如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 a?A 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。 ①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合 2.無限集含有無限個元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，

即：A=B ① 任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果AíB 同時 BíA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算 1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集. 記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}. 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 3、交集與并集的性質：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、與補集(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集) 記作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

(2)：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個。通常用U來表示。

(3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ

⑶(CUA)∪A=U

二、函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域

. 注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;

3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式. 定義域補充能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數不小于零;

(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. (又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。) 構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備) (見課本21頁相關例2) 值域補充 (1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。 3. 函數圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象. C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫法 A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法(請參考必修4三角函數) 常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用： 1、直觀的看出函數的性質; 2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。 4.快去了解區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.

5.什么叫做映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A B” 給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應

，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;

(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優點：

1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;

2 解析法：必須注明函數的定義域;

3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;

4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征. 注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮抵?。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值

補充一：分段函數 (參見課本P24-25) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。

分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;

(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集. 補充二：復合函數如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函數單調性

(1).增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意：1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質

2 必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2;當x1

(2) 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A)

定義法： 1 任取x1，x2∈D，且x1

8.函數的奇偶性 (1)偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數. (2).奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.

注意：1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。 2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱;

2 確定f(-x)與f(x)的關系;

3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數. 注意?。汉瘮刀x域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.

首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .

9、函數的解析表達式 (1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. (2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法;已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值2 利用圖象求函數的最大(小)值3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

第二章基本初等函數

一、指數函數 (一)指數與指數冪的運算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *. 當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radical exponent)，叫做被開方數(radicand)

. 當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號- 表示.正的次方根與負的次方根可以合并成± ( >0).

由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，

， 2.分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：， 0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential )，其中x是自變量，函數的定義域為R. 注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質 a>1 0

(1)在[a，b]上，值域是或 ;

(2)若，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;

(3)對于指數函數，總有 ;

(4)當時，若，則 ; 二、對數函數 (一)對數 1.對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)

說明：1 注意底數的限制，且 ; 2 ; 3 注意對數的書寫格式. 兩個重要對數： 1 常用對數：以10為底的對數 ; 2 自然對數：以無理數為底的對數的對數 . 對數式與指數式的互化對數式指數式對數底數 ← → 冪底數對數 ← → 指數真數 ← → 冪 (二)對數的運算性質如果，且，，，那么： 1 · + ; 2 - ; 3 . 注意：換底公式 ( ，且 ; ，且 ; ). 利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) . (二)對數函數 1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+∞). 注意：1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數. 2 對數函數對底數的限制：，且 . 2、對數函數的性質： a>1 0

(三)冪函數

1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數. 2、冪函數性質歸納. (1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1); (2) 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數.特別地，當時，冪函數的圖象下凸;當時，冪函數的圖象上凸; (3) 時，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸. 第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點 1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。 2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點. 3、函數零點的求法：求函數的零點： 1 (代數法)求方程的實數根; 2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點. 4、二次函數的零點：二次函數 . 1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點. 2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點. 3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點。