高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)？那么，高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)？一起來(lái)了解一下吧。
求導(dǎo)數(shù)就是微分的過(guò)程，不用知道具體是什么，先記公式
幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
① C'=0(C為常數(shù))；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln為自然對(duì)數(shù)）
⑦ loga(x)'=(1/x)loga(e)
導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
④[u(v)]'=[u'(v)]*v' （u(v)為復(fù)合函數(shù)f[g(x)]）
希望對(duì)你有用
先整體對(duì)根號(hào)求導(dǎo)，再將根號(hào)里面的式子對(duì)x求導(dǎo)。求導(dǎo)就是按優(yōu)先級(jí)從高到低依次求導(dǎo)。
u'=1/2 * (x^2+y^2+z^2)^(-1/2) * 2x
=x * (x^2+y^2+z^2)^(-1/2)
導(dǎo)數(shù) cv
定義：f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ① C'=0(C 為常數(shù)函數(shù)) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx ④ (cosx)' = - sinx ⑤ (e^x)' = e^x ⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina （ln 為自然對(duì)數(shù)） ⑦ (Inx)' = 1/x （ln 為自然對(duì)數(shù) X>0） ⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0 且 a 不等于 1) ⑨(sinh(x))'=cosh(x) ⑩(cosh(x))'=sinh(x) (tanh(x))'=sech^2(x) (coth(x))'=-csch^2(x) (sech(x))'=-sech(x)tanh(x) (csch(x))'=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1) (arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1) (arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|<1) (arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1) (chx)‘=shx, （ch 為雙曲余弦函數(shù)） （shx） '=chx: （sh 為雙曲正弦函數(shù)） （3） 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 （4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知 函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t） ： d f[u（x）]/dx= （d f/du）*（du/dx） 。 [∫（上限 h（x） ，下限 g（x） f（x）dx]’=f[h（x）]·h'（x）- f[g ） （x）]·g'（x） 洛必達(dá)法則(L'Hospital)： 是在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo) 再求極限來(lái)確定未定式值的方法。 設(shè) (1)當(dāng) x→a 時(shí)，函數(shù) f(x)及 F(x)都趨于零 (2)在點(diǎn) a 的去心鄰域內(nèi)， f'(x)及 F'(x)都存在且 F'(x)≠0 (3)當(dāng) x→a 時(shí) lim f'(x)/F'(x)存在(或 為無(wú)窮大)，那么 x→a 時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再設(shè) (1)當(dāng) x→∞時(shí)， 函數(shù) f(x)及 F(x)都趨于零 (2)當(dāng)|x|>N 時(shí) f'(x)及 F'(x)都存在，且 F'(x)≠0 (3)當(dāng) x→∞ 時(shí) lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，那么 x→∞時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利 用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： ①在著手求 極限以前， 首先要檢查是否滿足 0/0 或∞/∞型， 否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。 當(dāng)不存在時(shí) （不 包括∞情形） ，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則失效，應(yīng)從另外途徑求極限。比如 利用泰勒公式求解。 ②洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。 ③洛必 達(dá)法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達(dá)法則，往往計(jì)算會(huì)十分繁瑣，因此 一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時(shí)將非零極限的乘積因子分離出來(lái)以簡(jiǎn)化計(jì)算、乘積因 子用等價(jià)量替換等
(1)f'(x)=lim(Δx→0)[(x+Δx)2-2(x+Δx)-(x2-2x)]/Δx =lim(Δx→0)[2xΔx+Δx2-2Δx]/Δx =2x-2 ∴f'(1)=0 (2)s=t2+3 s(2)=4+3=7 s(3)=9+3=12 ∴Δs=s(3)-s(2)=5，Δt=3-2=1 ∴平均速度=Δs/Δt=5 v=ds/dt=2t ∴t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度=4。
這里將列舉五類基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過(guò)程（初等函數(shù)可由之運(yùn)算來(lái)）：
基本導(dǎo)數(shù)公式
1.常函數(shù)（即常數(shù)）y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.冪函數(shù)y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟記1/X的導(dǎo)數(shù)
3．指數(shù)函數(shù)(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟記y=e^x y'=e^x唯一一個(gè)導(dǎo)函數(shù)為本身的函數(shù)
4．對(duì)數(shù)函數(shù)(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟記y=lnx,y'=1/x
5．正弦函數(shù)y=(sinx ）y'=cosx
6．余弦函數(shù)y=（cosx） y'=-sinx
7．正切函數(shù)y=(tanx） y'=1/(cosx)^2
8．余切函數(shù)y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2
9．反正弦函數(shù)y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2
10．反余弦函數(shù)y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2
11．反正切函數(shù)y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)
12．反余切函數(shù)y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)
為了便于記憶，有人整理出了以下口訣：
常為零，冪降次，對(duì)倒數(shù)（e為底時(shí)直接倒數(shù)，a為底時(shí)乘以lna），指不變（特別的，自然對(duì)數(shù)的指數(shù)函數(shù)完全不變，一般的指數(shù)函數(shù)須乘以lna）；正變余，余變正，切割方（切函數(shù)是相應(yīng)割函數(shù)（切函數(shù)的倒數(shù)）的平方），割乘切，反分式
在推導(dǎo)的過(guò)程中有這幾個(gè)常見(jiàn)的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(shù)(x）看作整個(gè)變量，而g'(x)中把x看作變量’
2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
3． 原函數(shù)與反函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系（由三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)推反三角函數(shù)的）：y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y），則有y'=1/x'
證：1.顯而易見(jiàn)，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。
2．這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況，只能證其為整數(shù)Q。主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義與N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。
3．y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a^Δx-1通過(guò)換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：Δx=loga(1+β)。
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當(dāng)Δx→0時(shí)，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個(gè)結(jié)果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x。
4．y=logax
Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x
Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x
因?yàn)楫?dāng)Δx→0時(shí)，Δx/x趨向于0而x/Δx趨向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有
limΔx→0Δy/Δx=logae/x。
也可以進(jìn)一步用換底公式
limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)
可以知道，當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x。
這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)
Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)
所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx
6．類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx。
7．y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8．y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9．y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10．y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11．y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12．y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過(guò)查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開(kāi)頭的公式與
4．y=u土v,y'=u'土v'
5．y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結(jié)果。
對(duì)于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導(dǎo)方法。
y=x^n
由指數(shù)函數(shù)定義可知，y>0
等式兩邊取自然對(duì)數(shù)
ln y=n*ln x
等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y是y對(duì)x的復(fù)合函數(shù)
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
冪函數(shù)同理可證
導(dǎo)數(shù)說(shuō)白了它其實(shí)就是曲線一點(diǎn)斜率，函數(shù)值的變化率
上面說(shuō)的分母趨于零，這是當(dāng)然的了，但不要忘了分子也是可能趨于零的，所以兩者的比就有可能是某一個(gè)數(shù)，如果分子趨于某一個(gè)數(shù)，而不是零的話，那么比值會(huì)很大，可以認(rèn)為是無(wú)窮大,也就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)不存在。
x/x,若這里讓X趨于零的話，分母是趨于零了，但它們的比值是1,所以極限為1.
建議先去搞懂什么是極限。極限是一個(gè)可望不可及的概念，可以很接近它，但永遠(yuǎn)到不了那個(gè)岸.并且要認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)比值。
以上就是高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的全部?jī)?nèi)容，..。
