目錄解數系的發展 數系發展史 數系的發展歷程 數系的發展思維導圖 數集的發展史
若干年以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過著群居的生活。銀羨宴他們白天共同勞動，搜捕野獸、飛禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用勞動所得。在長期的共同勞動和生活中，他們之間逐漸到了有些什么非說不可的地步，于是產生了語言。他們能用簡單的語言夾雜手勢，來表達感情和交流思想。隨著勞動內容的發展，他們的語言也不斷發展，終于超過了一切其他動物的語言。其中的主要標志之一，就是語言包含了算術的色彩
人類先是產生了“數”的朦朧概念。他們狩獵而歸，獵物或有或無，于是有了“有”與“無”兩個概念。連續幾天“無”獸可捕，就沒有肉吃了，“有”、“無”的概念便逐漸加深。
后來，群居發展為部落。部落由一些成員很少的家庭組成。所謂“有”，就分為“一”、“二”、“三”、“多”等四種（有的部落甚至連“三”也沒有）。任何大于“三”的數量，他們都理解為鋒銀“多”或者“一堆”、“一群”。有些酋長雖是長者，卻說不出他捕獲過多少種野獸，看見過多少種樹，如果問巫醫，巫醫就會編造一些詞匯來回答“多少種”的問題，并煞有其事地吟誦出來。然而，不管怎樣，他們已經可以用雙手說清這樣的話（用一個指頭指鹿，三個指頭指箭）：“要換我一頭鹿．你得給我三枝箭。”這是他們當時沒有的算術知識。
大約在1萬年以前，冰河退卻了。一些從事游牧的石器時代的狩獵者在中東的山區內，開始了一種新的生活方式——農耕生活。他們碰到了怎樣的記錄日期、季節，怎樣計算收藏谷物數、種子數等問題。特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域發展起更復雜的農業社會時，他們還碰到交納租稅的問題。這就要求數有名稱。而且計數必須更準確些，只有“一”、“二”、“三”、“多”，已遠遠不夠用了。
底格里斯河與幼發拉底河之間及兩河周圍，叫做美索不達米亞，那兒產生過一種文化，與埃及文化一樣，也是世界上最古老的文化之一。美索不達米亞人和埃及人雖然相距很遠，但卻以同樣的方式建立了最早的書寫自然數的——在樹木或者石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子。盡管數的形狀不同，但又有共同之處，他們都是用單劃表示“一”。
后來（特別是以村寨定居后），他們逐漸以符號代替刻痕，即用1個符號表示1件東西，2個符號表示2件東西，依此類推，這種記數方法延續了很久。大約在5000年以前，埃及的祭司已在一種用蘆葦制成的草紙上書寫數的符號，而美索不達米亞的祭司則是寫在松軟的泥板上。他們除了仍用單劃表示“－”以外，還用其它符號表示“＋”或者更大的自然數；他們重復地使用這些單劃和符號，以表示所需要的數字。
公元前1500年，南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習慣于“結繩記數”——每收進一捆莊稼，就在繩子上打個結，用結的多少來記錄收成。“結”與痕有一樣的作用，派行也是用來表示自然數的。根據我國古書《易經》的記載，上古時期的中國人也是“結繩而治”，就是用在繩上打結的辦法來記事表數。后來又改為“書契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕記數．用一劃代表“一”。直到今天，我們中國人還常用“正”字來記數．每一劃代表“一”。當然，這個“正”字還包含著“逢五進一”的意思。
數系理論的歷史發展表明，數的概念的每一次擴張都標志著數學的進步，但是這種進步并不是按照數學教科書的邏輯步驟展開的。希臘人關于無理數的發現暴露出有理數系的缺陷，而實數系的完備性一直山孝要到19世紀才得以完成。負數早在《九章算術》中就已被中國數學家所認識，然而，15世紀的歐洲人仍然不愿意承認負數的意義。“四元數”的發明，打開了通向抽象代數的大門，逗首稿同時也宣告芹模在保持傳統運算定律的意義下，復數是數系擴張的終點。人類發明的記數法并沒有束縛自己的想象力，中國古代“數窮則變”的思想對于當代數學哲學仍具有積極的意義。關鍵詞：數系;記數法;實數理論;復數擴張Abstract: The development of the number system through generation of the number concept is one of the instructive studies in the history of mathematics. The progresses of the number concepts did not match the logical steps that appeared in the textbooks. The irrational numbers, which originated in Greek geometry, exposed the fact that there are many “gaps” in the rational number system, but the perfect of the real number had not been proved until 19th century. In 15th century, the negative numbers were took as the kind absurd number, although its concepts and operation rules were completed by ancient Chinese mathematicians in the Nine Chapters of Arithmetic. From the integers to the complex numbers, the generalization of the number operations, the associative, commutative, and distributive laws of addition and multiplication remained unchanged. Further development of the number concept was brought about through changes in the fundamental postulates of algebra. Weierstrass proved the it is impossible to construct a class of numbers more general than the complex number if all the postulates are retained without change.Key words: numeral system;numeration;theory of real number;the expansion of complex number引 言數，是數學中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標志著數學的巨大飛躍。一個時代人們對于數的認識與應用，以及數系理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。今天，我們所應用的數系，已經構造的如此完備和縝密，以致于在科學技術和社會生活的一切領域中，它都成為基本的語言和不可或缺的。在我們得心應手地享用這份人類文明的共同財富時，是否想到在數系形成和發展的歷史過程中，人類的智慧所經歷的曲折和艱辛呢？一、 記數法、位置制和零人類在進化的蒙昧時期，就具有了一種“識數”的才能，心理學家稱這種才能為“數覺”（perception of number）。動物行為學家則認為，這種“數覺”并非為人類所獨有。人類智慧的卓越之處在于他們發明了種種記數方法。《周易·系辭下》記載“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”。東漢鄭玄稱：“事大，大結其繩;事小，小結其繩。結之多少，隨物眾寡”。以結繩和書契記數的方法實際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、 *** 和中美洲國家都有文獻記載和實物標本。直到1826年，英國財政部才決定停止采用符契作為法定記數器。隨著人類社會的進步，數的語言也在不斷發展和完善。數系發展的第一個里程碑出現了：位置制記數法。所謂位置制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數。引起歷史學家、數學史家興趣的是，在自然環境和社會條件影響下，不同的文明創造了迥然不同的記數方法。如巴比倫的楔形數字、埃及象形數字、希臘人字母數字、瑪雅數字、印度— *** 數字和中國的算籌記數。最早發展的一類數系應該是簡單分群數系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實例，它是10進的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發展了60進位的定位數系（positional numeral system），它采用了位置制，卻不是10進的。而最重要和最美妙的記數法則是10進位位置制記數法。法國著名數學家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾經寫道：用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位;而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。拉普拉斯的這段評論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項發明歸之于印度。現已有充分而確鑿的史料證明，10進位位置制記數法最先產生于中國。這一點也為西方的一些數學史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來所習見的‘印度數字’的背后，位置制已在中國存在了兩千年。”不過，10進位位置制記數法的產生不能單純地歸結為天才的智慧。記數法的進步是與計算的改進相聯系的。研究表明，10進位位置制記數之產生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。“0”作為記數法中的空位，在位置制記數的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國籌算記數法，都是留出空位而沒有符號。印度人起初也是用空位表示零，后來記成點號“· ”，最后發展為圈號。印度數碼在公元8世紀傳入 *** 國家。13世紀初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）編著《算經》（Liber Abacci,1202），把包括零號在內完整的印度數碼介紹到了歐洲。印度數碼和10進位位置制記數法被歐洲人普遍接受后，在歐洲的科學和文明的進步中扮演了重要的角色。二、大數記法古代希臘人曾經提出一個問題：他們認為世界上的沙子是無窮的，即使不是無窮，也沒有一個可以寫出來的數超過沙子的數。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。在《數沙術》中，阿基米德以萬（myriad）為基礎，建立新的記數法，使得任何大的數都能表示出來。他的做法是：從1起到1億（原文是萬萬，myriad myriads, 這里按照中文的習慣改稱為億）叫做第1級數;以億（108）為第2 級數的單位，從億到億億（108）2叫做第2級數;在以億億為單位，直到億億億（108）3叫做第3級數。直到第1億級數的最后一數億億 .阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數目不過是1051,即使擴充到“恒星宇宙”，即以太陽到恒星的距離為半徑的天球，也不過只能容納1063個沙粒！同樣的問題也出現在中國古代。漢代以前，數皆10進，以10萬位億。韋昭解《國語·鄭語》第十六：“計億事，材兆物，收經入，行垓極”。注稱“計，算也;材，裁也。賈唐說皆以萬萬為億，鄭后司農云：十萬曰億，十億曰兆，從古數也。”《數術記遺》中則詳細記載了對大數的一整套命名和三種進位方法。《數術記遺》稱：黃帝為法，數有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載;三等者，謂上、中、下也。其下數者。十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京。上數者，數窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。《數術記遺》中的“大數之法”的數學意義并不僅僅在于它構造了三種記數方法，更為重要的是它揭示了人們對數的認識從有限走向無限的艱難歷程。客觀的需要和數學的發展都促使人們去認識和把握越來越大的數。起初，對一些較大的數，人們還可以理解它，還能夠利用已有的記數單位去表示它。但是，隨著人們認識的發展，這些大數也在迅速的擴張，原有的記數單位難以為用。人們不禁要問：數有窮乎？這是數系發展中的需要回答的重大命題。《數術記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對話，精彩的闡明了“數窮則變”的深刻道理：徐岳問曰：數有窮乎？會稽（劉洪）答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號曰天目先生，余亦以此意問之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數不識三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數有十等。……從億至載，終于大衍。會稽問曰：先生之言，上數者數窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？先生答曰：數之為用，言重則變，以小兼大，又加循環。循環之理，且有窮乎！天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環之理”，以有限來認識無限，而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日，“數窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊涵的深邃哲理仍值得人們深思。三、 有理數系位置制記數法的出現，標志著人類掌握的數的語言，已從少量的文字個體，發展到了一個具有完善運算規則的數系。人類第一個認識的數系，就是常說的“自然數系”。但是，隨著人類認識的發展，自然數系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數系是一個離散的、而不是稠密的數系[2] ,因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由于分數和負數的出現而得以彌補。有趣的是這些分數也都帶有強烈的地域特征。巴比倫的分數是60進位的，埃及采用的是單分數（unit fraction）， *** 的分數更加復雜：單分數、主分數和復合分數。這種繁復的分數表示必然導致分數運算方法的繁雜，所以歐洲分數理論長期停滯不前，直到15世紀以后才逐步形成現代的分數算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數理論上的卓越貢獻。原始的分數概念來源于對量的分割。如《說文·八部》對“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也。”但是，《九章算術》中的分數是從除法運算引入的。其“合分術”有云：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”這句話的今譯是：被除數除以除數。如果不能除盡，便定義了一個分數。中國古代分數理論的高明之處是它借助于“齊同術”把握住了分數算法的精髓：通分。劉徽在《九章算術注》中所言：眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢不可失本數也。有了齊同術，就可將分數化異類為同類，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱：“然則齊同之術要矣。錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觹解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎。”容易證明，分數系是一個稠密的數系，它對于加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數系內也同行無阻，負數的出現就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例，教科書在向學生講授負數是也多循此途。這就產生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進了負數的。歷史的事實表明：負數之所以最早為中算家所引進，這是由中國古代傳統數學中，算法高度發達和籌算機械化的特點所決定的。負數的概念和算法首先出現在《九章算術》“方程”章，因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時，就必須引入負數和建立正負數的運算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點：今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數相推求之術。而其并減之勢不得廣通，故使赤黑相消奪之。……故赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之數，差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之，負無入正之，其率不妄也。負數雖然通過 *** 人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數數學家并不承認它們是數，或者即使承認了也并不認為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ,1445-1500）和斯蒂費爾（Stifel ,1486-1567） 都把負數說成是荒謬的數，是“無稽之零下”。卡丹（Cardan,1501- 1576） 把負數作為方程的根，但認為它們是不可能的解，僅僅是一些記號;他把負根稱作是虛有的。韋達（Vieta, 1540- 1630） 完全不要負數，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 則認為從0減去4純粹是胡說。負數是人類第一次越過正數域的范圍，前此種種的經驗，在負數面前全然無用。在數系發展的歷史進程中，現實經驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。我們將會看到，負數并不是惟一的例子。四、 實數理論的完善無理數的發現，擊碎了Pythagoras學派“萬物皆數”的美夢。同時暴露出有理數系的缺陷：一條直線上的有理數盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數”。這樣，古希臘人把有理數視為是連續銜接的那種算術連續統的設想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時間內，對數學的發展，起到了深遠的影響。不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛紜。兩個不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認為是不可理喻的數。15世紀達芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是“無理的數”（irrational number），開普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是“不可名狀”的數。這些“無理”而又“不可名狀”的數，找到雖然在后來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數，卻一直是個困擾人的問題。中國古代數學在處理開方問題時，也不可避免地碰到無理根數。對于這種“開之不盡”的數，《九章算術》直截了當地“以面命之”予以接受，劉徽注釋中的“求其微數”，實際上是用10進小數來無限逼近無理數。這本是一條完成實數的正確道路，只是劉徽的思想遠遠超越了他的時代，而未能引起后人的重視。不過，中國傳統數學關注的是數量的計算，對數的本質并沒有太大的興趣。（李）而善于究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數學家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學里，都嚴格避免把數與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論（見《幾何原本》第5卷），使幾何學在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長時期中，形成了幾何與算術的顯著分離。17、18世紀微積分的發展幾乎吸引了所有數學家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎的關注，使得實數域的連續性問題再次突顯出來。因為，微積分是建立在極限運算基礎上的變量數學，而極限運算，需要一個封閉的數域。無理數正是實數域連續性的關鍵。無理數是什么？法國數學家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）給出了回答：無理數是有理數序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數序列的極限，意即預先存在一個確定的數，使它與序列中各數的差值，當序列趨于無窮時，可以任意小。但是，這個預先存在的“數”，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗地存在的。這表明，柯西盡管是那個時代大分析學家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論基礎的傳統觀念的影響。變量數學獨立建造完備數域的歷史任務，終于在19世紀后半葉，由維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。1872年，是近代數學史上最值得紀念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領”（Erlanger Programm），維爾斯特拉斯給出了處處連續但處處不可微函數的著名例子。也正是在這一年，實數的三大派理論：戴德金“分割”理論;康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論，同時在德國出現了。努力建立實數的目的，是為了給出一個形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎，微積分中關于極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認識聯系的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數的概念，并且在割斷數的概念與幾何量觀念的聯系之后才能完全達到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評價，這是因為，由“戴德金分割”定義的實數，是完全不依賴于空間與時間直觀的人類智慧的創造物。實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得兩千多年來存在于算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了，古希臘人的算術連續統的設想，也終于在嚴格的科學意義下得以實現。五、 復數的擴張復數概念的進化是數學史中最奇特的一章，那就是數系的歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之后，才去嘗試新的征程。在數系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認識，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經到達了遙遠的前哨陣地。1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數，然而他們智力又面臨一個新的“怪物”的挑戰。例如卡丹在所著《重要的藝術》（1545）中提出一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40.這需要解方程x （10-x） = 40,他求得的根是 和 ,然后說“不管會受到多大的良心責備，”把 和 相乘，得到25—（—15）= 40.于是他說，“算術就是這樣神妙地搞下去，它的目標，正如常言所說，是有精致又不中用的。”笛卡爾（Descartes,1596-1650）也拋棄復根，并造出了“虛數”（imaginary number）這個名稱。對復數的模糊認識，萊布尼茲（Leibniz,1646- 1716）的說法最有代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的—1的平方根。”直到18世紀，數學家們對復數才稍稍建立了一些信心。因為，不管什么地方，在數學的推理中間步驟中用了復數，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）關于“代數基本定理”的證明必須依賴對復數的承認，從而使復數的地位得到了近一步的鞏固。當然，這并不是說人們對“復數”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《論數學的研究和困難》中依然認為：已經證明了記號 是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過這些記號，代數中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴于一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數的一般規則可以應用于這些式子（復數）。……我們知道，18世紀是數學史上的“英雄世紀”，人們的熱情是如何發揮微積分的威力，去擴大數學的領地，沒有人會對實數系和復數系的邏輯基礎而操心。既然復數至少在運算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫了一篇論文“關于方向的分析表示”，試圖利用向量來表示復數，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達（J. Argand ,1768-1822） 給出復數的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數是正數的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴張實數系？（歷史論文 ）在使人們接受復數方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復平面上的一點 （ a, b），而且闡述了復數的幾何加法和乘法。他還說，如果1, —1 和 原來不稱為正、負和虛單位，而稱為直、反和側單位，那么人們對這些數就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數真正有一個新的看法，他引進術語“復數”（complex number）以與虛數相對立，并用 i 代替 .在澄清復數概念的工作中，愛爾蘭數學家哈米爾頓（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復數a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。復數a+ bi 只不過是實數的有序數對（a,b），并給出了有序數對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，不僅復數被邏輯地建立在實數的基礎上，而且至今還有點神秘的 也完全消除了。回顧數系的歷史發展，似乎給人這樣一種印象：數系的每一次擴充，都是在舊的數系中添加新的元素。如分數添加于整數，負數添加于正數，無理數添加于有理數，復數添加于實數。但是，現代數學的觀點認為：數系的擴張，并不是在舊的數系中添加新元素，而是在舊的數系之外去構造一個新的代數系，其元素在形式上與舊的可以完全不同，但是，它包含一個與舊代數系同構的子集，這種同構必然保持新舊代數系之間具有完全相同的代數構造。當人們澄清了復數的概念后，新的問題是：是否還能在保持復數基本性質的條件下對復數進行新的擴張呢？答案是否定的。當哈米爾頓試圖尋找三維空間復數的類似物時，他發現自己被迫要做兩個讓步：第一，他的新數要包含四個分量;第二，他必須犧牲乘法交換率。這兩個特點都是對傳統數系的革命。他稱這新的數為“四元數”。“四元數”的出現昭示著傳統觀念下數系擴張的結束。1878年，富比尼（F.Frobenius, 1849 – 1917） 證明：具有有限個原始單元的、有乘法單位元素的實系數先行結合代數，如果服從結合律，那就只有實數，復數和實四元數的代數。數學的思想一旦沖破傳統模式的藩籬，便會產生無可估量的創造力。哈米爾頓的四元數的發明，使數學家們認識到既然可以拋棄實數和復數的交換性去構造一個有意義、有作用的新“數系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數和復數的通常性質的代數構造。數系的擴張雖然就此終止，但是，通向抽象代數的大門被打開了。參考文獻[1] Tobias Dantzing. 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數學發展具有階段性，因此根據一定的原則把數學史分成若干時期。
目前通常將數學發展劃分為以下五個時期：
1．數學萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；
3．變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；
4．近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；
5．現代數學時期（20世紀40年代以來）
在數學萌芽期這一時期，數學經過漫長時間的萌芽階段，在生產的基礎上積累了豐富的有關數和形的感性知識。
到了公元前六世紀，希臘幾何學的出現成讓歷亮為第一個轉折點，數學從此由具體的、實驗的階段，過渡到抽象的、理論的階段，開始創立初等數學。
此后又經過不斷的發展和交流，最后形成了幾何、算術、代數、三角等獨立學科。
世界上最古老的幾個國家都位于大河流域：黃河流域的中國；尼羅河下游的埃及；幼發拉底河與底格里斯河的巴比倫國；印度河與恒河的印度。
這些國家都是在農業的基礎上發展起來的，因此他們就必須掌握四季氣候變遷的規律。
現在對于古巴比倫數學的了解主要是根據巴比倫泥版，這些數學泥版表明，巴比倫自公元前2000年左右即開始使用60進位制的記數法進行較復雜的計算了，并出現了60進位的分數，用與整數同樣的法則進行計算；已經有了關于倒數、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數表；借助于倒數表，除法常轉化為乘法進行計算。
巴比倫數學具有算術和代數的特征，幾何只是表達代數問題的一種方法。
這時還沒有產生數學的理論。
對埃及古代數學的了解，主要是根據兩卷紙草書。
從這兩卷文獻中可以看到，古埃及是采用10進位制的記數法。
埃及人的數學興趣是測量土地，幾何問題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉的容積和有關金字塔的簡易計算法。
但是由于這些計算法是為了解決尼羅河泛濫后土地測量和谷物分配、容量計算等日常生活中必須解決的課題而設想出來的，因此并沒有出現對公式、定理、證明加以理論推導的傾向。
埃及數學的一個主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發展。
由于地理位置和自然條件，古希臘受到埃及、巴比倫這些文明古國的許多影響，成為歐洲最先創造文明的地區。
希臘的數學是輝煌的數學，第一個時期開始于公元前6世紀，結束于公元前4世紀。
泰勒斯開始了命題的邏輯證明，開始了希臘偉大的數學發展。
進入公元前5世紀，愛利亞學派的芝諾提出了四個關爛槐于運動的悖論，柏拉圖強調幾何對培養邏輯思維能力的重要作用，亞里士多德建立了形式邏輯，并且把它作為證明的；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構成。
第二個時期自公元前4世紀末至公元1世紀，這時的學術中心從雅典轉移到了亞歷山大里亞，因此被稱為亞歷山大里亞時期。
這一時期有許多水平很高的數學書稿問世，并一直流傳到了現在。
公元前3世紀，歐幾里得寫出了平面幾何、比例論、數論、無理量論、立體幾何的集大成的著作幾何原本，第一次把幾何學建立在演繹體系上，成為數學史乃至思想史上一部劃時代的名著。
之后的阿基米德把抽象的數學理論和具體的工程技術結合起來，根據力學原理去探求幾何圖形的面積和體積，奠定了微積分的基礎。
阿波羅尼寫出了《圓錐曲線》一書，成為后來研究這一問題的基礎。
公元一世紀的赫倫寫出了使用具體數解釋求積法的《測量術》等著作。
二世紀的托勒密完成了到那時為止的數理天文學的集大成著作《數學匯編》，結合天文學研究三角學。
三世紀丟番圖著《算術》，使用簡略號求解不定方程式等問題，它對數學發展的影響僅次于《幾何原本》。
希臘數學中最突出的三大成就--歐幾里得的幾何學，阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論，標志著當時數學的主體部分--算術、代數、幾何基本上已經建立起來了。
羅馬人征服了希臘也摧毀了希臘的文化。
公元前47年，羅馬人焚毀了亞歷山大里亞圖書館，兩個半世紀以來收集的藏書和50萬份手稿競付之一炬。
從5世紀到15世紀，數學發展的中心轉移到了東方的印度、中亞細亞、 *** 國家和中國。
在這1000多年時間里，數學主要是由于計算的需要，特別是由于天文學的需要而得到迅速發展。
古希臘的數學看重抽象、邏輯坦寬和理論，強調數學是認識自然的，重點是幾何；而古代中國和印度的數學看重具體、經驗和應用，強調數學是支配自然的，重點是算術和代數。
印度的數學也是世界數學的重要組成部分。
數學作為一門學科確立和發展起來。
印度數學受婆羅門教的影響很大，此外還受希臘、中國和近東數學的影響，特別是受中國的影響。
此外， *** 數學也有著舉足輕重的作用， *** 人改進了印度的計數，"代數"的研究對象規定為方程論；讓幾何從屬于代數，不重視證明；引入正切、余切、正割、余割等三角函數，制作精密的三角函數表，發現平面三角與球面三角若干重要的公式，使三角學脫離天文學獨立出來。
在我國，春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。
這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。
中國古代數學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立并鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。
魏、晉時期趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。
劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。
在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。
這之后，我國數學經過像秦九邵、祖沖之、郭守敬、程大位這樣的數學家進一步發展了我國的數學事業。
在西歐的歷史上，中世紀的黑暗在一定程度上阻礙了數學的發展，15世紀開始了歐洲的文藝復興，使歐洲的數學得以進一步發展，15世紀的數學活動集中在算術、代數和三角方面。
繆勒的名著《三角全書》是歐洲人對平面和球面三角學所作的獨立于天文學的第一個的闡述。
16世紀塔塔利亞發現三次方程的代數解法，接受了負數并使用了虛數。
16世紀最偉大的數學家是偉達，他寫了許多關于三角學、代數學和幾何學的著作，其中最著名的《分析方法入門》改進了符號，使代數學大為改觀；斯蒂文創設了小數。
17世紀初，對數的發明是初等數學的一大成就。
1614年，耐普爾首創了對對數，1624年布里格斯引入了相當于現在的常用對數，計算方法因而向前推進了一大步。
至此，初等數學的主體部分--算術、代數與幾何已經全部形成，并且發展成熟。
變量數學時期從17世紀中葉到19世紀20年代，這一時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。
這一時期的主要成果是解析幾何、微積分、高等代數等學科。
17世紀是一個開創性的世紀。
這個世紀中發生了對于數學具有重大意義的三件大事。
首先是伽里略實驗數學方法的出現，它表明了數學與自然科學的一種嶄新的結合。
其特點是在所研究的現象中，找出一些可以度量的因素，并把數學方法應用到這些量的變化規律中去。
第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學》于1637年發表。
它引入了運動著的一點的坐標的概念，引入了變量和函數的概念。
由于有了坐標，平面曲線與二元方程之間建立起了聯系，由此產生了一門用代數方法研究幾何學的新學科--解析幾何學。
這是數學的一個轉折點，也是變量數學發展的第一個決定性步驟。
第三件大事是微積分學的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成的。
他們認識到微分和積分實際上是一對逆運算，從而給出了微積分學基本定理，即牛頓-萊布尼茲公式。
17世紀的數學，發生了許多深刻的、明顯的變革。
在數學的活動范圍方面，數學教育擴大了，從事數學工作的人迅速增加，數學著作在較廣的范圍內得到傳播，而且建立了各種學會。
在數學的傳統方面，從形的研究轉向了數的研究，代數占據了主導地位。
在數學發展的趨勢方面，開始了科學數學化的過程。
最早出現的是力學的數學化，它以1687年牛頓寫的《自然哲學的數學原理》為代表，從三大定律出發，用數學的邏輯推理將力學定律逐個地、必然地引申出來。
18世紀數學的各個學科，如三角學、解析幾何學、微積分學、數論、方程論，得到快速發展。
19世紀20年代出現了一個偉大的數學成就，它就是把微積分的理論基礎牢固地建立在極限的概念上。
柯西于1821年在《分析教程》一書中，發展了可接受的極限理論，然后極其嚴格地定義了函數的連續性、導數和積分，強調了研究級數收斂性的必要，給出了正項級數的根式判別法和積分判別法。
而在這一時期，非歐幾何的出現，成為數學史上的一件大事，非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。
它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和準備。
這時人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何--非歐幾何。
非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終于開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質。
非歐幾何的發現，黎曼和羅巴切夫斯基功不可滅，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域--黎曼幾何學。
后來，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數--四元數代數。
不可交換代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。
它的革命思想打開了近代代數的大門。
另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。
19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅瓦開創了近世代數學的研究。
這時，代數學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉向代數結構本身的研究。
19世紀還發生了第三個有深遠意義的數學事件：分析的算術化。
1874年威爾斯特拉斯提出了被稱為"分析的算術化"的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然后分析的所有概念應該由此數系導出。
19世紀后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。
20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。
此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。
1945年，第一臺電子計算機誕生以后，由于電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。
計算機的出現更是促進了數學的發展，使數學分為了三個領域，純粹數學，計算機數學，應用數學。
現代數學雖然呈現出多姿多彩的局面，但是它的主要特點可以概括如下：(1)數學的對象、內容在深度和廣度上都有了很大的發展，分析學、代數學、幾何學的思想、理論和方法都發生了驚人的變化，數學的不斷分化，不斷綜合的趨勢都在加強。
(2)電子計算機進入數學領域，產生巨大而深遠的影響。
(3)數學滲透到幾乎所有的科學領域，并且起著越來越大的作用，純粹數學不斷向縱深發展，數理邏輯和數學基礎已經成為整個數學大廈基礎。
數的概念是從實踐中產生和發展起來的．早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了自然數；隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展：為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了滿足記數需要和表示具有相反意義的量，人們引進了負數；為了解決開方開不盡的矛盾，人們引進了無理數；在解方程時，為了使負數開平方有意義，人們就引進了梁薯虛數，使實數域擴大到復數域．
十六世紀中葉，意大利數學家卡爾丹在解一元二次方程 和一元三次方程 時，分別得到類似下面的結果：
，
由于負數在實數系內沒有平方根，于是他首先產生了將負數開平方的思想，基于自己的設想，卡爾丹研究了類似于 的新數，并進行了計算．后來又有一位意大利數學家幫加利探究了這類新數的運算法則．但最初，人們對復數的概念和性質的了解不甚清楚，對于卡爾丹將40表示成 的乘積認為只不過是一種純形式的表示而已，莫名其妙；再者用這類新數的運算法則計算又會得到一些矛盾，因而長期以來，人們把復數看作是不能接受的“虛數”．直到十七世紀和十八世紀，隨著微積分的發明與發展，以及這個時期復數有了幾何的解釋，“虛數”才被揭去縹緲的面紗，漸露端倪．1637年，法國數學家笛卡爾正式開始使用“實數”、“虛數”這兩個名詞；同一時期，德國數學家萊布尼茨、瑞士數學家歐拉和法國數學家棣莫弗等研究了虛數與對數函數、三角函數之間的關系，除了解方程外，還把它用于微積分等方面進行應用研究，得到很多有價值的結果．1777年，歐拉地建立了復數理論，創立了復變函數論的一些基本定理，并開始把它們用到水力學和地圖制圖學上；歐拉首先用符號“i”作為虛數的單位，并定義 1797年，挪威數學家維賽爾在平面內引進數軸，以實軸與虛軸所確定的平面向量表示虛數，不同的向量對應不同的點，他還用幾何術語定義了虛數與向量的運算，揭示了虛數及其運算所具有的幾何意義．
十八世紀末十九世紀初，著名的德國數學家高斯在證明代數基本定理“任何一元n次方程在復數集內有且僅有n個根”時，就應用并論述了卡爾丹所設想的新數，并首次引進了“復數”這個名詞，把復數與平面內的點一一對應起來，創立了復平面，依賴于平面內的點或有向線段(向量)建立了復數的幾何基礎．這樣歷經300年的努力橡埋者，數系從實數系到復數系的擴張才基本完成，復數才被人們廣泛承認和使用．
復數在數學中起著重要的作用，除了上述的代數基本定理外，還有“實系數的一元n次方程虛根成對出現”定理等，特別是以復數為變量的“復變函數論”，是數學中一個重要分支．十九世紀，復變函數論經過法國數學家柯西、德國數學家黎曼和維爾斯特拉斯的巨大努力，已經形成了非常的理論，并且深刻地滲入到代數學、解析數論、微分方程，概率統計、計算數學和拓撲學等數學分支．同時，它在電學、熱力學、彈性理論和天體力學等方液歲面都得到了實際應用．
數學的發展歷史是：
1、人類進入原始社會，就需要數學了，從早期的結繩記事到學會記數，再到簡單的加減乘除，這些都是人類日常生活中所遇到的數學問題。數學是有等級的，就像自然數的運算是小學生的水平一樣，超出了這個范圍小學生就不能理解了。
像有好襪肢未知數的運算小學生就無從下手一樣，數學的發生發展也是從低級向高級進化的，人類最早理解的是算數，經過額一段時間的發展算數發展到了方程、函數，一級一級的進化，才發展到了現代的的數學。
2、人類數學的發展做出較大成就的是古希臘時期，奇怪的是古希臘對數的運算并不突出，反而是要到中學才能學到的幾何學在古希臘好羨就奠定了基礎，學過幾何的人對歐幾里得不會陌生，歐幾里得是古希臘人，數學家，被稱為“幾何之父”。
他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，提出五大公設，歐幾里得幾何，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。
3、在古希臘教育中幾何學占有相當重要的地位，柏拉圖提倡的希臘六藝就包括幾何，后來希臘文化衰落了，希臘被入侵，希臘圖書館的藏書被掠奪了，被阿拉伯人保存了。
4、在算術上，阿拉伯人對數學的貢獻是現在人們最熟悉的1、2、……9、0十個數字，稱為阿拉伯數字。但是，在數學發展過程中，阿拉伯人主友世要吸收、保存了希臘和印度的數學，并將它傳給歐洲。
阿拉伯人采用和改進了印度的數字記號和進位記法，也采用了印度的數學記號和進位記法，也采用了印度的無理數運算，但放棄了負數的運算。代數這門學科名稱就是由阿拉伯人發明的。阿拉伯人還解出一些一次、二次方程，甚至三次方程。
5、12、13世紀歐洲數學界的代表人物是斐波那契，他向歐洲人介紹了印度－阿拉伯數碼和位值制記數法，以及各種算法在商業上的應用。中國的盈不足術和《孫子算經》的不定方程解法也出現在斐波那契的書中。此外他還有很多獨創性的工作。
