目錄高數(shù)下極限 高等數(shù)學(xué)求極限的方法總結(jié) 高等數(shù)學(xué)極限100例題及答案 大一高數(shù)求極限的方法 高等數(shù)學(xué)求定義域
極限是微積分中的一條主線，是學(xué)好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難，要根據(jù)具體情況進(jìn)行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。以下是我搜索整理的高等數(shù)學(xué)中幾種求極限的方法，供參考借鑒！
一、由定義求極限
極限的本質(zhì)――既是無限的過程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化過程的趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。
然而并不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結(jié)出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復(fù)雜的題。
二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限
此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f(x)在x0處無定義的情況。
三、利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限
極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧如拆項(xiàng)，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。
四、利用兩邊夾定理求極限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A
兩邊夾定理應(yīng)用的關(guān)鍵：適當(dāng)選取兩邊的函數(shù)(或數(shù)列)，并且使其極限為同一值。
注意：在運(yùn)用兩邊夾定理求極限時(shí)要保證所求函數(shù)(或數(shù)列)通過放縮后所得的.兩邊的函數(shù)(或數(shù)列)的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。
五、利用單調(diào)有界原理求極限
單調(diào)有界準(zhǔn)則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準(zhǔn)則時(shí)需證明兩個(gè)問題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性;求極限時(shí)，在等式的兩邊同時(shí)取極限，通過解方程求出合理的極限值。
利用單調(diào)有界原理求極限有兩個(gè)難點(diǎn)：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時(shí)，我們通常都采用數(shù)學(xué)歸納法。
六、利用等價(jià)無窮小代換求極限
在實(shí)際計(jì)算過程中利用等價(jià)無窮小代換法或與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過程中所有的無窮小量都能用其等價(jià)的無窮小量來進(jìn)行計(jì)算。用等價(jià)無窮小代換時(shí)，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價(jià)無窮小代換的問題便集中到對(duì)瞎芹緩于分子、分母中的加減法因子如何進(jìn)行x的等價(jià)無窮小代換這一點(diǎn)上，在利用等價(jià)無窮小代換的方法求極限時(shí)必須把分子(或分母)看作一個(gè)整體，用整個(gè)分子(或分母)的等價(jià)無窮小去代換。
七、利用泰勒展式求極限
運(yùn)用等價(jià)無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計(jì)算量，使問題得以簡(jiǎn)化。但一般說來，這種方法僅限于求兩個(gè)無窮小量是乘或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無窮小量非乘或非除的極限，對(duì)于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關(guān)系式，不能用洛必達(dá)法則及等價(jià)無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。
八、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限
求極限的方法有很多種，在解題時(shí)，這些方法并不是孤立的，常常一個(gè)問題需要用到幾種方法。根據(jù)題目給出的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ńY(jié)合使用，能使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，起到事半功倍的效果。首物同時(shí)又能加強(qiáng)對(duì)微積分知識(shí)整體上的深層次認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)好微積分是大有裨益的。
分?jǐn)?shù)求極限的方法
1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計(jì)算，無窮小直接以0代入；
2、無窮大根式減去無窮大根式時(shí)，分子有理化，然后運(yùn)用(1)中的方法；
3、運(yùn)用兩個(gè)特別極限；
4、運(yùn)用洛必達(dá)法則，但是洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實(shí)。
5、用Mclaurin(麥克勞琳)級(jí)數(shù)展開，而國(guó)內(nèi)普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。
6、等階無窮小代換，這種方法在國(guó)內(nèi)甚囂塵上，國(guó)外比較冷靜。因?yàn)橐灰辣?，不是值得推廣的教學(xué)法；二是經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)，要特別小心。
7、夾擠法。這不是普遍方法，因?yàn)椴豢赡芊拍ツ４?、縮小后的結(jié)果都一樣。
8、特殊情況下，化為積分計(jì)算。
9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。
第一個(gè)極限式子，直接將x=0代入就可以了，求得極限為2；
第二個(gè)極限式子，需要對(duì)m、n進(jìn)行討論，
若m>n，則分子的冪數(shù)高于分母，極限為∞；若m 以上，請(qǐng)采納。 一、利用極限四則運(yùn)算法則求極限 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)有函數(shù)，若在自變量f（x），g（x）的同一變化過程中，有l(wèi)imf（x）=A，limg（x）=B，則 lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B lim［f（x）?g（x）］=limf（x）?limg（x）=A?B lim==（B≠0） （類似的有數(shù)列極限四則運(yùn)算法則）現(xiàn)以討論函數(shù)為例。 對(duì)于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會(huì)想到極限四則運(yùn)散搏算法則，但使用這些法則，往往要根據(jù)具體的函數(shù)特點(diǎn)，先對(duì)函數(shù)做某些恒等變形或化簡(jiǎn)，再使用極限的四則運(yùn)算法則。方法有： 1.直接代入法 對(duì)于初等函數(shù)f（x）的極限f（x），襲掘散若f（x）在x點(diǎn)處的函數(shù)值f（x）存在，則f（x）=f（x）。 直接代入法的本質(zhì)就是只要將x=x代入函數(shù)表達(dá)式，若有意義，其極限就是該函數(shù)值。 2.無窮大與無窮小的轉(zhuǎn)換法 在相同的變化過程中，若變量不取零值，則變量為無窮大量?圳它的倒數(shù)為無窮小量。對(duì)于某些特殊極限可運(yùn)用無窮大與無窮小的互為倒數(shù)關(guān)系解決。 （1）當(dāng)分母的極限是“0”，而分子的極限不是“0”時(shí)，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，而應(yīng)利用無窮大與無窮小的互為倒數(shù)的關(guān)系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。 （2）當(dāng)分母的極限為∞，分子是常量時(shí)，則f（x）極限為0。 3.除以適當(dāng)無窮大法 對(duì)于極限是“”型，不能直接用極限的商的運(yùn)算法則，必須先將分母和分子同時(shí)除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臒o窮大量x。 4.有理化法 適用于帶根式的極限。 二、利用夾逼準(zhǔn)則求極限 函數(shù)極限的夾逼定理：設(shè)函數(shù)f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內(nèi)（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數(shù)列極限的夾逼定理） 利用夾逼準(zhǔn)則關(guān)鍵在于選用合適的不等式。 三、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程，可求出極限。 四、利用等價(jià)無窮小代換求極限 常見等價(jià)無窮小量的例子有：當(dāng)x→0時(shí)，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。 等價(jià)無窮小的代換定理：設(shè)α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變量x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。 五、利用無窮小量拍氏性質(zhì)求極限 在無窮小量性質(zhì)中，特別是利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量的性質(zhì)求極限。 六、利用兩個(gè)重要極限求極限 使用兩個(gè)重要極限=1和（1+)=e求極限時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)所給的函數(shù)或數(shù)列作適當(dāng)?shù)淖冃危怪哂邢鄳?yīng)的形式，有時(shí)也可通過變量替換使問題簡(jiǎn)化。 七、利用洛必達(dá)法則求極限 如果當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）都趨于零或趨于無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為“”型或“”型未定式，對(duì)于該類極限一般不能運(yùn)用極限運(yùn)算法則，但可以利用洛必達(dá)法則求極限。 主要是在分段處考察，內(nèi)容： 1、在分段處是否有定義，定義是否連續(xù)，如果連續(xù)左右極限必然相等。 2、如果沒有定義，考察函數(shù)的左右極限是否相等，如果相等，為可去間斷點(diǎn)，否則，為不可去間斷點(diǎn)。 例如間斷點(diǎn)為x=a，左極限為lim(△x→0) [f(a-0+△x)-f(a-0)]/△x，用左端的函數(shù)計(jì)算。 右極限為lim(△x→0) [f(a+0+△x)-f(a+0)]/△x 用a點(diǎn)右邊的函數(shù)計(jì)算耐兆。 求極限基本方法有： 1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計(jì)算，無窮小直接以0代入。 2、無窮大根式減去無窮大根式時(shí)，分子有理化。 3、運(yùn)用洛握局必達(dá)法則，但是洛必達(dá)法則的運(yùn)用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是昌皮租連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。 高數(shù)沒有八個(gè)重要極限公式，只有兩個(gè)。 1、第一個(gè)重要極限的公式： lim sinx / x = 1 (x->0)當(dāng)x→0時(shí)，sin / x的極限等于1。 特別注意的是x→∞時(shí)，1 / x是仔滑無窮小，無窮小的性質(zhì)得到的極限是0。 2、第二個(gè)重要極限的公式： lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）當(dāng)x→∞時(shí)，（1+1/x）＾x的極限等于e；或當(dāng)x→0時(shí)，（1+x）＾（1/x）的極限等于e。 擴(kuò)展資料： “極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)念者臘”的意思。 數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變小）的永遠(yuǎn)變化的過程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”的過程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”嫌塌、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。 極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。 極限的求法： 1、連續(xù)初等函數(shù)，在定義域范圍內(nèi)求極限，可以將該點(diǎn)直接代入得極限值，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)的極限值就等于在該點(diǎn)的函數(shù)值。 2、利用恒等變形消去零因子。 3、利用無窮大與無窮小的關(guān)系求極限。 4、利用無窮小的性質(zhì)求極限。 5、利用等價(jià)無窮小替換求極限，可以將原式化簡(jiǎn)計(jì)算。 6、利用兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。 參考資料來源：-極限 （微積分概念）高等數(shù)學(xué)極限100例題及答案
大一高數(shù)求極限的方法
高等數(shù)學(xué)求定義域
