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高中數學基本不等式

數學不等式基本公式

28個著名不等式

不等式的秘密電子版

數學不等式題及答案

高中數學基本不等式

考研七個基本不等式是線性代數部分不等式，不等式，平均不等式均值不等式，函數不等式，不等式證明題，基本不等式，用函數單調性證明不等式。

不等式的證明題作為微分的應用經常出現在考研題中，利用函數的單調性證明不等式是不等式證明的基本方法，有時需要兩次大歲甚至三次連續使用該方法，其他方法可作為該方法的補充，輔助函數的構造仍是解決問題的關鍵。

利用拉格朗日中值定理證明不等式，對于不等式中含有fa的因子，可考慮用拉格朗日中值定理先處理一下。

利用泰勒公式證明不等式，如果要證明的不等式中，含有函數的二階或二階以上的導數，一般通過泰勒公式證滾慶睜明不等式，不等式證明的難點也是輔助函數的構造，一般可以通過要證差盯明的不等式分析得出要構造的輔助函數。

用符號>，<表示大小關系的式子，叫作不等式，用≠表示不等關系的式子也是不等式，構造適當的輔助函數是解決問題的基礎，有時需要兩次利用函數的單調性證明不等式，有時需要對區間（a,b）進行分割，分別在小區間上討論。

數學不等式基本公式

不等式的基本公式：

a^2+b^2 ≥ 2ab。

√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2。

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac。

a+b+c≥3×三次根號abc。

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。

通常不等式中的數是實數，字母也代表實數，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等號也可以為 中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

一般地，用純粹的大于號“>”、小于號“<”表示大小關系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等關系和此的式子也是不等式。

其中，笑缺兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域。

整式不等式：

整式不等式兩邊都是整式（即未知數不在分母上）。

一元一次不等式：含有一個未知數(即一元),并且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。如3-x>0

同理，二元一次不等式：含有兩個未知數(即二碰棚辯元),并且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。

28個著名不等式

常用不等式公式：

①√((a2+b2)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。

②√(ab)≤御碰瞎(a+b)/2。

③a2+b2≥2ab。

④ab≤(a+b)2/4。

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

原理：

①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。

②如果吵汪不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含，那么不等式 F(x)

③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。

不等式的秘密電子版

基本不等式有：

1、三角不等式

三角不等式即在三角形中兩邊慶拿之和大于第三邊，是平面幾何不等式里最為基礎的結論。廣義托勒密定理巖差毀、歐拉定理及歐拉不等式最后都會用這一不等式導出不等關系。

2、平均值不等式

Hn≤Gn≤An≤Qn被稱為平均值不等式，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。

3、二元均值不等式

二粗備元均值不等式表示兩個正實數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數。公式為：a^2+b^2≥2ab；推廣有：一般地，若a1,a2,a3,···,an,是正實數，則有均值不等式:

4、楊氏不等式

楊氏不等式又稱Young不等式 ，Young不等式是加權算術-幾何平均值不等式的特例，其一般形式為：假設a,b是非負實數，p＞1，1/p+1/q=1，那么：

等號成立當且僅當a^p=b^q。

5、柯西不等式

柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式），其一般形式為：

6、赫爾德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自奧圖·赫爾德(Otto H?lder）。這是一條揭示Lp空間相互關系的基本不等式。設p＞1，1/p+1/q=1，令a1,···,an和b1,···,bn是非負實數，則有：

參考資料來源：—不等式

數學不等式題及答案

1、三角不等式

三角不等式，即在三角形中兩邊之和大于第三邊，有時亦指用不等號連接的含有三角函數的式子臘畢（這里不作介紹）。三角不等式雖然簡單，但卻是平面幾何不等式里最為基礎的結論。

2、均值不等式

均值不等式，又名平均值不輪纖芹等式、平均豎罩不等式，是數學中的一個重要公式。公式內容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。

3、柯西不等式

柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。

但從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因為，正是后兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中非常重要，是高等數學研究內容之一。

4、幾何平均不等式

根號ab,稱為幾何平均數，這個體現了一個幾何關系， 即過一個圓的直徑上任意一點做垂線，直徑被分開的兩部分為a,b, 那么那個垂線在圓內的一半長度就是根號ab,并且 (a+b)/2≥根號ab! 這就是它的幾何意思，也是稱之為幾何平均數的原因。

算術-幾何平均值不等式，簡稱算幾不等式，是一個常見而基本的不等式，表現了算術平均數和幾何平均數之間恒定的不等關系。

5、楊氏不等式

楊氏不等式又稱Young不等式 ，Young不等式是加權算術－幾何平均值不等式的特例，Young不等式是證明Holder不等式的一個快捷方法。