目錄數(shù)列分式遞推公式不動(dòng)點(diǎn)方程 高中數(shù)學(xué)6種構(gòu)造數(shù)列法 不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)例題 數(shù)列不定點(diǎn)方程 不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的原理
這個(gè)真要解釋清楚需要用到大學(xué)數(shù)學(xué)中線性代數(shù)和組合數(shù)學(xué)的知識(shí)，很麻煩，高中階段你只要會(huì)用并粗肢能證明其正確性即可……
證明如下：
特徵方程法：
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
其特征方程為x^2-p*x-q=0
i.若其有兩個(gè)不相等的根（稱(chēng)作特征根）α、β
則an=A*α^n+B*β^n
其中常數(shù)A、B的值由初始值a1、a2的值確定.
ii.若其有兩個(gè)相等的根α
則an=(A*n+B)*α^n
其中常數(shù)A、B的值由初始值a1、a2的值確定.
最終可得：
當(dāng){an}有兩個(gè)不等的特征根為根α,β時(shí)
由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2
可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
當(dāng)特征根為重根α?xí)r
由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)
得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2
可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)
得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
由于
α+β=A
α*β=-B
由韋達(dá)定理，可構(gòu)造一元二次方程
x^2-p*x-q=0
此即為二階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程
特殊的，當(dāng)二階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根為重根α=1時(shí)
即p=2，q=-1
a(n+2)=2*a(n+1)-an
此時(shí)，二階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
為等差數(shù)列
不動(dòng)點(diǎn)法：
遞推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D為常數(shù)，C不為0，AD-BC不為0，喚凳枝a1與a2不等）
其特征方程為x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根稱(chēng)為該數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)
這類(lèi)遞推式可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有兩個(gè)不等的根α、和敏β，則有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，則有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程
數(shù)列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A后的括號(hào)代表下標(biāo)）求An通項(xiàng)
這道體我當(dāng)時(shí)記了個(gè)方法：原式變形后 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝為公比-2的數(shù)列；｛A(n+1)+2An｝為公比1的數(shù)列
然后聯(lián)立 解蘆雹簡(jiǎn)出來(lái)
上述方法，應(yīng)該說(shuō)是特征根法和不動(dòng)點(diǎn)法。
特征根：
對(duì)于多個(gè)連續(xù)項(xiàng)的遞推式（不含常數(shù)項(xiàng)），可化為X的(n-1)次方陪褲程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可寫(xiě)為：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然后求出根（實(shí)根虛根都可以），不同項(xiàng)寫(xiě)成C*x^(n-1),相同項(xiàng)寫(xiě)成關(guān)于n的整式，有多少同根，n的次數(shù)就是同根數(shù)減1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通項(xiàng)就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系數(shù)，要靠已知項(xiàng)聯(lián)立方程求解。
不動(dòng)點(diǎn)：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大于等于1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
數(shù)列 {a(n)}，設(shè)遞推公式為 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，則其特征方程為 x^2-px-q=0 .
若方程有兩相異根 A、B，則 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始條件確定，下同)
若方程有兩等根 A=B，則 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分內(nèi)容的證明過(guò)程：
設(shè) r、毀鍵讓s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韋達(dá)定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根，也就是剛才說(shuō)的特征根。
然后進(jìn)一步證明那個(gè)通項(xiàng)公式：
如果r=s，那么數(shù)列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 為首項(xiàng)、r 為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
兩邊同時(shí)除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等號(hào)右邊的是個(gè)常數(shù)，說(shuō)明數(shù)列{a(n)/r^n} 是個(gè)等差數(shù)列。顯然等號(hào)右邊那個(gè)就是公差，首項(xiàng)也比較明顯，這里不纖局重復(fù)了。根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并設(shè) a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再設(shè) 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那個(gè) r 用 A 來(lái)代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
不動(dòng)點(diǎn)法：
遞推亮前式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D為常數(shù)，C不為0，AD-BC不為0，a1與a2不等）
其特征方程為x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根稱(chēng)為該數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)
這類(lèi)遞推式可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有兩個(gè)不等的根α、β，則有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，則有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
注:并非本人總結(jié)，僅供參考。
數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)法原理：
對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)=x0，則稱(chēng)x=x0是函數(shù)f(x)的（一階）不動(dòng)點(diǎn)。
同樣地，若f(f(x0))=x0，則稱(chēng)x=x0是函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn)。容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一階不動(dòng)點(diǎn)x=x0，有f(f(x0))=f(x0)=x0，因此一階不動(dòng)點(diǎn)必然是二階不動(dòng)點(diǎn)。
在幾何上，曲線y=f(x)與曲線y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。
一般地，數(shù)列{xn}的遞推式可以由公式xn+1=f(xn)給出，因此可以定義遞推數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)：對(duì)于遞推數(shù)列{xn}，若其遞推式為xn+1=f(xn)，且存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)=x0，則稱(chēng)返穗游x0是數(shù)列{xn}的不動(dòng)點(diǎn)。
數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)：
若從某一項(xiàng)xk開(kāi)始，數(shù)列的取值即為x0，也即xk=x0，則xk+1=f(xk)=f(x0)=x0，xk+2=f(xk+1)=f(x0)=x0漏銷(xiāo)，以此類(lèi)推，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可以得到當(dāng)n≥k時(shí)，xn=x0，也即數(shù)列{xn}在k之后“不動(dòng)”了。
有時(shí)候，數(shù)列{xn}中的值可能無(wú)法取到x0，但是會(huì)“接近”x0，也即收斂族弊于x0。所謂“收斂”是指當(dāng)n充分大時(shí)，數(shù)列{xn}趨向于某個(gè)值x，也即limn→∞xn=x，代入遞推式即可得到f(x)=x。
當(dāng)f(x)=x時(shí)，x的取值稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)，
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感覺(jué)一般非用不動(dòng)點(diǎn)不可的也就這個(gè)了，所以記住它的解法就足夠了。
我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求擾拿褲倒數(shù)之類(lèi)的，太復(fù)雜，如果用不動(dòng)點(diǎn)的方法，此題就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令
，即
，敏鍵cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的兩個(gè)根為x1，x2，
若x1=x2
則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系緩簡(jiǎn)數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表達(dá)式記住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表達(dá)式記住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
簡(jiǎn)單地說(shuō)就是在遞推中令an=x
代入
a(n+1)也等于x
然后構(gòu)造數(shù)列.
